求由心形线r=4(1+cosθ)、直线θ=0和θ=π⼀2所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积？

旋转体的体积为160π。

解：对于心型线r=4(1+cosθ)，那么x=rcosθ，y=r*sinθ。

根据二重积分中体积公式可知，该体积V为，

V=∫∫D2πydρ（其中D为心型线围成的区域，D={(r,θ)0≤θ≤π/2，0≤r≤r(θ)}）

=∫(0,π/2)∫(0,r(θ))2π*y*r^2dr

=∫(0,π/2)dθ∫(0,r(θ))2π*r^2*sinθdr

=2π*∫(0,π/2)sinθdθ∫(0,r(θ))r^2dr

=2π/3*∫(0,π/2)(r(θ))^3sinθdθ

=2π/3*∫(0,π/2)(4(1+cosθ))^3sinθdθ

=128π/3*∫(0,π/2)(1+cosθ)^3sinθdθ

=-128π/3*∫(0,π/2)(1+cosθ)^3d(1+cosθ)

=-128π/3*1/4*(1+cosθ)^4(0,π/2)

=32π/3*(2^4-1)

=160π

扩展资料：

1、二重积分的几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。

某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

2、二重积分性质

（1）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。

（2）被积函数的常系数因子可以提到积分号外。

3、心型线的数学表达方式

（1）极坐标方程

水平方向：ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)。垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)。

（2）参数方程

-π≤t≤π 

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))

y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

参考资料来源：百度百科-二重积分

参考资料来源：百度百科-心型线

如图。。。

公式在上大书上p309