解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴
＝BD BE
BG BC
即BD?BC=BG?BE；
（2）证明：∵BD?BC=BG?BE，∠C=45°，
∴BG=
=BD?BC BE
=
BC?BC1 2 BE
=
(1 2
AB)2
2
BE
，AB2 BE
∴
=AB BG
，∠ABG=∠EBABE AB
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；
（3）解：连接DE，
连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE∥BA，
∵BA⊥AC，
∴DE⊥AC，设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴CH=AG，
∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角，
∴BE=
a，
5
∴AG=AB×
=AE BE
a=2
5
a，2
5
5
∴CH=
a，2
5
5
∵AG⊥BE，∠FGE=45°，
∴∠AGF=45°=∠ECB，
∵∠FGE=45°，
∴∠AGE=90°，
∴AG∥CH，
∴∠GAE=∠HCE，
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB；
∴∠DFE=∠BCH，
又∵DE⊥AC，CH⊥BE，
∴△DEF∽△BHC
∴EF：DF=CH：BC=
a：22
5
5
a=
2
．
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