好吧问答库 > 求三阶矩阵A=(1 2 3, 3 1 2, 2 3 1)的特征值和特征向量请详细说明一下特征向量的求法！

求三阶矩阵A=(1 2 3, 3 1 2, 2 3 1)的特征值和特征向量请详细说明一下特征向量的求法！

2024年12月09日 08:41

有5个网友回答

网友（1）：

解题过程如下图：

扩展资料

求三阶矩阵方法：

把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式。

行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积。即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘。如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在 b2 b3 c2c3中找）

而a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它第一行的每一个数乘以它的余子式，或等于第一列的每一个数乘以它的余子式，然后按照 + - + - + -......的规律给每一项添加符号之后再做求和计算。

网友（2）：

1、求行列式，设此矩阵A的特征值为λ，则|A-λE| =

1-λ 2 3

3 1-λ 2

2 3 1-λ （c1+c2+c3）

6-λ 2 3

6-λ 1-λ 2

6-λ 3 1-λ （r2-r1,r3-r1）

6-λ 2 3

0 -1-λ -1

0 1 -2-λ

=（6-λ）[（1+λ）（2+λ）+1]

=（6-λ）（λ²+3λ+3）

解得A的特征值为6。

2、求特征向量

对特征值6，求出齐次线性方程组（A-6E）X=0 的基础解系。

A-6E =

-5 2 3

3 -5 2

2 3 -5 （r1+r2+r3,r2-r3）

0 0 0

1 -8 7

2 3 -5 （r3-2r2）

0 0 0

1 -8 7

0 19 -19 （r3×（1/19），r2+8r3）

0 0 0

1 0 -1

0 1 -1

解得（A-6E）X=0的基础解系为（1，1，1）^T。

所以，A的属于特征值6的所有特征向量为k（1，1，1）^T，k为非零常数。

扩展资料：

求特征相量：

1、求特征向量前要先求特征值，并确定特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组（A-λI）v=0（其中I是单位矩阵）有非零解v（一个特征向量），因此等价于行列式|A-λI|=0。

2、函数p（λ）=det（A-λI）是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

3、矩阵A的特征值可以通过求解方程pA（λ）=0来得到。若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。

4、反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内，所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

5、找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解特征方程（A-λI）v =0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。

参考资料来源：百度百科-特征向量

网友（3）：

1. 计算行列式 |A-λE| =

1-λ 2 3

3 1-λ 2

2 3 1-λ

c1+c2+c3

6-λ 2 3

6-λ 1-λ 2

6-λ 3 1-λ

r2-r1,r3-r1

6-λ 2 3

0 -1-λ -1

0 1 -2-λ

= (6-λ)[(1+λ)(2+λ)+1]

= (6-λ)(λ^2+3λ+3)

所以A的特征值为6.

注: λ^2+3λ+3 在实数域无法分解, A的实特征值只有6.

2. 求特征向量

对特征值6, 求出齐次线性方程组 (A-6E)X=0 的基础解系.

A-6E =

-5 2 3

3 -5 2

2 3 -5

r1+r2+r3,r2-r3

0 0 0

1 -8 7

2 3 -5

r3-2r2

0 0 0

1 -8 7

0 19 -19

r3*(1/19),r2+8r3

0 0 0

1 0 -1

0 1 -1

(A-6E)X=0 的基础解系为 (1,1,1)^T.

所以, A的属于特征值6的所有特征向量为 k(1,1,1)^T, k为非零常数。

扩展资料：

特征向量的属性：

谱在相似变换下不变：矩阵A和P^-1AP有相同的特征值，这对任何方形矩阵A和任何可逆矩阵 P都成立。谱在转置之下也不变：矩阵A和A^T有相同的特征值。因为有限维空间上的线性变换是双射当且仅当它是单射，一个矩阵可逆当且仅当所有特征值都不是0。

若当分解的一些更多的结果如下：

一个矩阵A相似于对角阵当且仅当对于A的每一个特征值的代数重次等于几何重次。特别地有，一个n×n矩阵如果有n个不同特征值，则总是可以对角化的。矩阵作用的向量空间可以视为其广义特征向量所撑成的不变子空间的直和。

对角线上的每个块对应于该直和的一个子空间。若一个块是对角化的，其不变子空间是一个特征空间。否则它是一个广义特征空间，如上面所定义；因为迹，也就是矩阵主对角线元素之和，在酉等价下不变，若当标准型说明它等于所有特征值之和。

类似的有，因为三角矩阵的特征值就是主对角线上的项，其行列式等于等于特征值的乘积。

参考资料来源：百度百科-特征向量

网友（4）：

特征值和特征向量是线性代数里的重要概念，广泛地运用在现代物理和工程当中，其定义为如下公式：

AX-mX=0 或 (A-mE)X=0

其中：A-矩阵；X-特征向量；m-特征值；E-单位矩阵。

向量是一个有方向和大小的矢量，矩阵和向量相乘相当于改变了向量的方向和大小，而一个数与向量相乘只改变了向量的大小，不改变向量的方向。因此满足上式意味着，矩阵A与特征向量X相乘只改变特征向量X的大小，不改变方向。一个矩阵有特征值和特征向量（上式有解）的必要条件是其为方形矩阵，且满足：det(A-mE)=0。对于该题的具体解题过程如下图所示：

注意此处该矩阵有三个特征值和与其对应的三个特征向量，且其中两个为复数。这是因为实数对称矩阵的特征值为实数，而其他方形矩阵（非对称或复数矩阵）的特征值可能是复数，而本题的矩阵为非对称方形矩阵。

网友（5）：

求三阶矩阵A=(1 2 3, 3 1 2, 2 3 1)的特征值和特征向量请详细说明一下特征向量的求法！
求三阶矩阵A=(1 2 3, 3 1 2, 2 3 1)的特征值和特征向量我看了很多类似问题的百度知道，在解析特征向量的时候我总是看不懂到底怎么算出来的！请详细说明一下展开
写回答共6个回答

蔷祀
LV.32019-06-07
1. 计算行列式 |A-λE| =

1-λ 2 3

3 1-λ 2

2 3 1-λ

c1+c2+c3

6-λ 2 3

6-λ 1-λ 2

6-λ 3 1-λ

r2-r1,r3-r1

6-λ 2 3

0 -1-λ -1

0 1 -2-λ

= (6-λ)[(1+λ)(2+λ)+1]

= (6-λ)(λ^2+3λ+3)

所以A的特征值为6.

注: λ^2+3λ+3 在实数域无法分解, A的实特征值只有6.

2. 求特征向量

对特征值6, 求出齐次线性方程组 (A-6E)X=0 的基础解系.

A-6E =

-5 2 3

3 -5 2

2 3 -5

r1+r2+r3,r2-r3

0 0 0

1 -8 7

2 3 -5

r3-2r2

0 0 0

1 -8 7

0 19 -19

r3*(1/19),r2+8r3

0 0 0

1 0 -1

0 1 -1

(A-6E)X=0 的基础解系为 (1,1,1)^T.

所以, A的属于特征值6的所有特征向量为 k(1,1,1)^T, k为非零常数。

扩展资料：

特征向量的属性：

谱在相似变换下不变：矩阵A和P^-1AP有相同的特征值，这对任何方形矩阵A和任何可逆矩阵 P都成立。谱在转置之下也不变：矩阵A和A^T有相同的特征值。因为有限维空间上的线性变换是双射当且仅当它是单射，一个矩阵可逆当且仅当所有特征值都不是0。

若当分解的一些更多的结果如下：

一个矩阵A相似于对角阵当且仅当对于A的每一个特征值的代数重次等于几何重次。特别地有，一个n×n矩阵如果有n个不同特征值，则总是可以对角化的。矩阵作用的向量空间可以视为其广义特征向量所撑成的不变子空间的直和。

对角线上的每个块对应于该直和的一个子空间。若一个块是对角化的，其不变子空间是一个特征空间。否则它是一个广义特征空间，如上面所定义；因为迹，也就是矩阵主对角线元素之和，在酉等价下不变，若当标准型说明它等于所有特征值之和。

类似的有，因为三角矩阵的特征值就是主对角线上的项，其行列式等于等于特征值的乘积。

参考资料来源：百度百科-特征向量

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