高一数学题

当三角形的面积为最大时,θ=60度.

计算过程:设三角形对应的3个边分别为,a,b,c
向量a·向量b=2,可得cosθ=2/a*b ①
|向量a-向量b|=2,可得|向量c|=2,即c=2
余弦公式得:cosθ=(a2+b2-c2)/2a*b ②
将①与c=2代入②得a2+b2=8 ③
设三角形面积为s
即s=1/2sinθa*b,由于sinθ不好用边表示,故此放法排除.
设a边上的高为h,交a边于D点．
则 s=1/2a*h
根据三角函数公式得：cosθ=[根号下（b2-h2)]/b ④
所以(cosθ)2=(b2-h2)/b2 ⑤
将①③代入⑤并整理得：
h2=8-a2-4/a2
所以s=1/2a*h
s2=1/4a2*h2=2a2-1/4a4-1
设y=s2, x=a2;
于是有 y=-1/4*x2+2x-1
两边求导数得:
y导数＝-1/2x+2
因为面积最大，所有为极大值
即：y导数=0 即 -1/2x+2=0, x=4
因为a2=x，且a为正数
所以a=2
a2+b2=8得:b=2
故当三角形为等边三角形时，三角形的面积最大，θ=60度．

注: a2意思是a的平方,a4是a的4次方,其它同理