(1)取x1=x2=0得f(0)=f(x0)+f(0)+f(0),即f(x0)+f(0)=0
取x1=1,x2=0,得f(x0)=f(x0)+f(0)+f(1),即f(1)+f(0)=0
所以f(x0)=f(1),
由于f(x)在R上单调,故x0=1
(2)f(n)=f(1*(n-1)+1*1)=f(1)+f(n-1)+f(1)=2+f(n-1)
所以f(n)是首项为1,公差为2的等差数列。f(n)=2n-1
an=1/(2n-1)
Sn=1/3+1/(3*5)+……+1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1-1/(2n+1)]【注:裂项法】
bn=1+f(1/2^n)=1+f[1*1/2^(n+1)+1*1/2^(n+1)]=f(1)+2f[1/2^(n+1)]+1=2{1+f(1/2^(n+1))}=2b(n+1)
bn是首项为b1,公比为1/2的等比数列。
b1=f(1/2)+1
f(1*1/2+1*1/2)=f(1)+f(1/2)+f(1/2)=f(1)
f(1/2)=0
b1=1+0=1
bn=(1/2)^(n-1)
Tn=1*(1/2)+(1/2)*(1/2)²+……+(1/2)^(n-1)*(1/2)^n【就是对首项为1/2,公比为1/4的等比数列求和】=1/2[1-(1/4)^n]/(1-1/4)=4/3*1/2[1-1/4^n]
Tn-4/3Sn=2/3{(1-1/4^n)-[1-1/(2n+1)]}=2/3[1/(2n+1)-1/4^n]
当n≥1时,2n+1<4^n【证明略去,用导数的方法证明。】
故1/(2n+1)-1/4^n>0
所以Tn>4/3Sn
(3)令Kn=a(n+1)+……+a(2n)
由题意对任意n不小于2的时候不等式都成立,
即不等式右边
即log(1/3)(x+1)
x+1>x²-1/9
x²-x-10/9<0
(x-5/3)(x+2/3)<0
解得-2/3