lim(1⼀n^2+1+2⼀n^2+2+...+n⼀n^2+n) n区域无限

结果为：π/4

截图过程如下：

原式=lim(n->∞) ∑(i:1->n) √(n^2-i^2)/n^2

=lim(n->∞) (1/n) ∑(i:1->n) √(1-(i/n)^2)

=∫(0->1) √(1-x^2) dx

=π/4

扩展资料

求函数极限的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n
若令分母都为最小的分母n^2+1,则值会增大
分母为最大的n^2+n,值会减小，即
1/n^2+n+2/n^2+n+...+n/n^2+n
<=1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n
<=1/n^2+1+2/n^2+1+...+n/n^2+1
即
(1+2+...+n)/n^2+n <= 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n <=(1+2+...+n)/n^2+1
.5n(n+1)/n^2+n <= 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n <=.5n(n+1)/n^2+1
两边都取极限
得到1/2<=极限<=1/2
所以
lim 1/n^2+1+2/n^2+2+...+n/n^2+n =1/2

无穷