为什么圆的内接三角形以正三角形面积Max

请附证明思路

2025年03月18日 01:06

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网友（1）：

设半径为r,圆内接三角形的三条边为a/b/c,三条边所对角为A/B/C,
则圆内接三角形的面积
S=(1/2)·a·b·sinC=a·b·c/(4r)
而
a=2r·sinA
b=2r·sinB
c=2r·sinC,
∴S=2r^2·sinA·sinB·sinC
=2r^2·sinA·sinB·sin(π-A-B)
=2r^2·sinA·sinB·sin(A+B)
=2r^2·sinA·sinB·(sinA·cosB + sinB·cosA)
=2r^2·(sin^2 A ·sinB·cosB + sin^2 B ·sinA·cosA)
=r^2·(sin^2 A ·sin2B + sin^2 B ·sin2A)
=(r^2 /4)·[(1-cos2A)·sin2B + (1-cos2B)·sin2A]
=(r^2 /4)·[sin2B + sin2A - sin(2A+2B)]
=(r^2 /4)·(sin2B + sin2A + sin2C)
显然,当 sin2A = sin2B = sin2C 时,S最大;
则此时 A=B=C=60°