好吧问答库 > 柯西收敛准则求柯西收敛准则的具体意义和实例啊。写的具体点。实例中的思想。

柯西收敛准则求柯西收敛准则的具体意义和实例啊。写的具体点。实例中的思想。

2025年01月25日 14:11

有2个网友回答

网友（1）：

定理叙述：数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立　　
将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立　　
此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。

证明举例：
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限　　
证：
对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m | 　　
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m 　　
=(1/n-1/m)→0 　　
由柯西收敛原理得{xn}收敛　　
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m | 　　
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m 　　
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0 　　
由柯西收敛原理得{xn}收敛　　
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限

网友（2）：

这都不会？？？丢人！百度一下全都有了

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