局部有界和函数在某点有极限是两个不同的概念，只是说，如果函数在某一点极限存在，那么这个函数就在这个点的某个空心δ邻域内是有界的，也就是说函数局部有界。并没有说局部有界一定极限存在的。最简单的例子就是狄利克莱函数，D(x)=1(如果x是有理数） D(x)=0(如果x是无理数），在[0,1]区间内是有界的，但是对区间内的任意的a，当x趋于a时，极限是不存在的。
极限本来就是局部性质，以此作为条件最多也就得到局部的结论。
如果你想看看局部无界的例子，那么很简单，Riemann函数的伪倒数就是局部无界的，即
若x是无理数，则f(x) = 0
若x是有理数p/q，其中p和q互质，且q>0，则f(x)=q
这步根据的是函数极限的定义，对任意的伊普西龙，存在xo的一个邻域，能满足下式
|f(x)-A|<伊普西龙
既然存在极限，那取伊普西龙=1肯定存在一个邻域满足
|f(x)-A|<1即
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