求微分方程y✀+xy✀^2-y=0的直线积分曲线

微分方程4x2y'2-y2=xy3，证明：与其积分曲线关于坐标原点(0，0)成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线。

也可以这样解微分方程为：x * y ' = 2y，做法是：取对数分离出常数 c，然后微分，xy'' - y' = 0 通解为：y = C1 / 2 * x^2 + C2，y ' = C1 * x，将 y'(1) = 1，y(1) = 1/2 代入得到：C1 = 1，C2 = 0，所以，解为：y'+xy'^2-y=0。

先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的质量分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。

对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) 。

若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

直线积分曲线
①y=0
②y=kx+b(由题可知，k≠0)

第①种情况自然成立
第②种情况
把y'=k代入原方程y'+xy'²-y=0
则可得y=k²x+k
又因为y=kx+b
由比较系数法，可得
k²=k,k=b
所以k=b=1

即①y=0
或②y=x+1

令x=e^t,则xy'=dy/dt
代入原方程,得dy/dt+y=y².(1)
令z=1/y,则dy=-y²dz
代入方程(1),得dz/dt-z=-1.(2)
∵方程(2)是一阶线性方程
∴由一阶线性方程通解公式,得方程(2)的通解是
z=Ce^t+1 (C是积分常数)
==>1/y=Ce^t+1
==>1/y=Cx+1
故原方程的通解是1/y=Cx+1 (C是积分常数).

第一种情况分析得y=0显然成立，第二种情况令y=kx+b带入方程并让x项系数等于0，解得k=b=1综上所述，y=0或y=x+1

y=0或y=x+1,很简单的！一眼就能看出！