用积分中值定理证明的题

2024年11月30日 20:53

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网友（1）：

我来救你了！！
用积分第一中值定理：f∈C[a,b],g∈R[a,b],且g在[a,b]上不变号（要么恒≥0，要么恒≤0），则存在c∈[a,b],s.t. S[a,b]fgdx=f(c)*(S[a,b]gdx)
还会用到数列的夹挤定理，即存在N,任意n>N,z(n)<=x(n)<=y(n)且z(n),y(n)的极限相同值为l则x（n）的极限存在，为l。
现在我们看题：对每一个n，x^n满足条件作为f，1/(1+x)满足条件作为g；对每一个n，用积分第一中值定理，从存在的c中取一个记为c(n)(这是选择公理保障的），那么有原数列=(c(n))^n*S[0,1/2]1/(1+x)dx=(c(n))^n*ln(3/2);而0<=c(n)<=1/2;得到0<=(c(n))^n<=(1/2)^n;这两边极限为0，由夹挤定理得中间那个极限为0；至此证明完毕。