什么是欧氏空间？

我只学到微积分请尽量说得详细一点

2024年12月10日 15:23

有2个网友回答

网友（1）：

欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质。

网友（2）：

n 维欧氏空间就是实数的 n 维线性空间 R^n 定义了欧几里德度量得到的度量空间。

其中欧几里德度量定义为
d: R^n —→ R
(x_1, x_2, …, x_n) ├→ √(x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + … + x_n ^ 2 )
即各分量平方和的算术平方根。

在这种度量下得到的拓扑就欧几里德拓扑，相应的拓扑空间记作E^n。