一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余4，这个自然数最小是多少？

这一类问题，是我国古代的问题。叫做“孙子定理”，或中国“孙子定理”。老百姓常称之为“韩信点兵”。它是环论，同余类的问题。
此定理，分如何证明与如何使用两类。
原题目是：物不知数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物若干。（把你“余4”还原成“余二”）。
你可以从百度百科或百度文库随手查找阅读一下。
孙子定理的使用，有简洁方法。一看就懂了。懂了之后自己还可以编出许多类似的题目。哈哈。
这样吧，我们编一道数字不重复的题目讲一下（你的题目有两个3，有些数说起来乱了）。
某数A，除以3余2；除以5余4；除以7余6。求A的最小值。
大致分如下几步。第一步：3×5＝15，把15的倍数依次写下来：15,30,45,60，75，90，，，，从中找出除以7余1的数来。哈，头一个就是。记住，出现了一个数15。 15×6＝90。这就是说，90除以7余6。
第二步：3×7＝21，把21的倍数依次写下来：21,42,63,84,95，，，，从中找出除以5余1的数来，哈，又是头一个21。21×4＝84,84除以5余4。
第三步：5×7＝35，把35的倍数依次写下来：35,70,105,140，，，，从中找出除以3余1的数来，70就是。70×2＝140。140除以3余2。
第四步：把上面出现的三个数加起来：90＋84＋140＝314。这个数314就满足条件。
第五步：只是314不是最小的，那么，我们就减去3,5,7的公倍数105（=3×5×7），或者减去105的倍数，即
314－105×2＝314－210＝104。
答：104就是我们所要求的数。
这个方法你可以理解和掌握吗？我想是可以的。你表一个态吧？

∵一个自然数除以3余2，除以5余3
设这个自然数是x
∴﹙x＋7﹚是3、5的公倍数
∴﹙x＋7﹚可以是15、30、45、60、75……
x等于8、23、38、53、68……
显然；53÷7余4
∴这个自然数最小是53

解释：
例：5÷3＝1……2
8÷5＝1……3
2＋7＝9是3的倍数
3＋7＝10是5的倍数
能够满足
5＋7＝12是3的倍数
8＋7＝15是5的倍数
∴设自然数是x
﹙x＋7﹚是3的倍数
﹙x＋7﹚是5的倍数
∴﹙x＋7﹚是3、5的公倍数

该类型题的通用解法是解一次同余式组。设该自然数为x，则该题可表示为：x≡2(mod3)；x≡3(mod4)；x≡4(mod5)。设b1=2，b2=3，b3=4，m1=3，m2=4，m3=5；则x≡b1(modm1)，x≡b2(modm2)，x≡b3(modm3)；M=m1m2m3=60，M1=M/m1=20，M2=M/m2=15，M3=M/m3=12；另外，N1M1≡1(modm1)，N2M2≡1(modm2)，N3M3≡1(modm3)，由此可得：N1=2，N2=3，N3=3，所以x≡b1N1M1+b2N2M2+b3N3M3(modM)≡359(mod60)≡59(mod60)，所以这个最小的自然数为59。以上方法是采用孙子定理。

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