解答：（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，
，
∠1＝∠B AD＝BD ∠2＝∠4
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（2）解：同理可证，△ADE≌△CDF，
所以，S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF，
即S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；
（3）解：仍然成立．如图，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°，
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，
∴∠DAF=∠DBE，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，
，
∠DAF＝∠DBE AD＝BD ∠2＝∠4
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
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