高数的佩亚诺余项中误差为什么是(x-x0)^n的高阶无穷小？这里的n是默认趋于无穷大吗

从问题看出你没理解佩亚诺余项的含义，不过这个确实也是难点，要花点功夫……
泰勒公式里的的n是泰勒公式的阶数，在x->x0这个极限过程中，n是固定的一个常数！不存在趋于无穷大之类的问题。
佩亚诺余项o((x-x0)^n) （x->x0）表示的是一个关于x的函数R(x), 这个函数满足如下性质：x->x0时，R(x)/(x-x0)^n->0.

关于泰勒公式，简单来说就是给定正整数n和点x0, 对于一个n次可导的函数f(x), 希望给出一个n次多项式g(x)（称为n阶的泰勒多项式），使得g(x)与f(x)在x0附近充分接近(不只是函数值，包括各阶导数值)。这个g(x)就是书上写得那一大串，虽然复杂，但你心里要清楚g(x)就是一个关于变量x的n次多项式，项x^k前面的系数就是你写的f(k)x0/k!, 这里f(k)x0指的是f的k阶导数在x0点的取值，是一个常数。

所谓余项（具体来说是n阶余项），很简单，就是f(x)-g(x), 记为R(x). 所谓佩亚诺余项实际上是指出了R(x)的性质：x->x0时，R(x)/(x-x0)^n->0. 上面已经写过这个式子。注意，此式之所以成立，是因为g(x)选得足够巧妙，具体的证明若有兴趣可以参看课本。由小o的定义，上面这个式子可以换种表达方式，写成R(x)=o((x-x0)^n), x->x0. 将此式代入f(x)=g(x)+R(x)，就得到了书上给的“带佩亚诺余项的泰勒公式”。

泰勒公式是一元微分学的顶峰和集大成者，其中蕴含了丰富的信息，既是重点又是难点，确实需要花功夫好好理解一下，首先是理解这公式里面x是变量(取定阶n以后)，主部虽然复杂，本质上无非是一个n次多项式，复杂之处在于系数用到了f的k阶导数在x0点的取值。

希望你理解以上我说的以后，再回头看看书上的具体细节，应该会明白很多！

这么说吧，你学过微分了，微分就是用一条直线f(x)在x0点的导数来代替原函数在这点的曲线，那么如果我们要求的精确度再高一些，我们当然希望所找的的函数是原函数的本身咯，我们设该函数为x的n次多项式，这样逼近程度自然随着n的无穷增大而去靠近原函数，精度提高了，我们设所列的n阶多项式为f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+...+an(x-x0)^n，那么对这个n阶多项式的系数（根据同一阶导数的系数相等，对f(x)求导数，并另x=x0)显然有a0=f(x0),a1=f'(x0)，a2=f''(x0)/2!...an=f(n)(x0)/n!,因此就可以求出系数，带入就得到了泰勒公式，余项的定义就是所设函数和原函数的差距，当然是由原函数在x0点的值减去f(x0)，既然我们计算至an(x-x0)^n的这一项an为准确值，当然差值为(an+1)(x-x0)^(n+1)，为(x-x0)^n的高阶无穷小，对这里的n趋于无穷大，或者你在做题目的时候你题目所要你求取的精度的后一位，视题目而定。我QQ：495931631，有空交流下啊

你考研吗？其实泰诺公式是求极限的一种方法。比如在x趋于0时，sinx＝x－1／6x的3次方，在求极限是，会遇到函数中有变量或是遇到抽象函数，如果用洛必达法则你都不知道求导后极限是否存在，所以只能用泰勒公式。我的qq949027132

看看书吧

同济版的推导很全的！建议你自己看吧！！一大堆推导！