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1 目标函数
对于以水为冷却介质的管壳式冷却器,进口水温一定时,由传热学的基本原理分析可知,冷却水的出口费用将影响传热温差,从而影响换热器的传热面积和投资费用。若冷却水出口温度较低,所需的传热面积可以较小,即换热器的投资费用减少;但此时的冷却水的用量则较大,所需的操作费用增加,所以存在使设备费用和操作费用之和为最小的最优冷却水出口温度。
设换热器的年固定费用
FA = KF.CA.A (1)
式中 FA ———换热器的年固定费用,元;
KF ———换热器的年折旧率, 1 /y;
CA ———换热器单位传热面积的投资费用,元/m2 ;
A ———换热器的传热面积,m2。
换热器的年操作费用
FB =Cu •WuHy/1000 (2)
式中 FB ———换热器的年操作费用,元;
Cu ———单位质量冷却水费用,元/吨;
Wu ———换热器冷却水用量, kg/h;
Hy ———换热器每年运行时间, h。
因此换热器的年总费用即目标函数
F = FA + FB = KFCAA +Cu •WuHy/1000 (3)
2 A与Wu 的数学模型———热平衡方程
换热器的热负荷为
Q =GcPi ( T1 - T2 ) (4)
式中Q———换热器的热负荷, kJ /h;
G———换热器热介质处理量, kg/h;
cpi ———热流体介质比热容, kJ / ( kg•℃) ;
T1、T2 ———热流体的进出口温度, ℃。
当换热器操作采用逆流换热时,则热平衡方程为
Q =Wu cpw ( t2 - t1 ) =GcPi ( T1 - T2 ) = KA& tm
(5)
式中 cpw ———冷却水比热容, kJ / ( kg•℃) ;
t1、t2 ———冷却水的进出口温度, ℃;
& tm ———对数平均温度差, ℃。
& tm =( T1 - t2 ) - ( T2 - t1 )/In(T1 - t2/T2 -
t1) (6)
由此可得
Wu =Q/cpw ( t2 - t1 ) (7)
A = Q/K& tm (8)
K———总传热系数, (m2 •h•℃) 。
将(4)和(6)代入(7)和(8) ,然后再代入(3) ,得
F = KFCAGcpi ( T1 - T2 )/cpw ( t2 - t1 )+Cu
•HyGcpi ( T1 - T2 )/K{ ln(( T1 - t2 ) / ( T2
- t1 ))}1000 (9)
一般来说,对于设计的换热器, G、T1、T2、t1 及Hy
均为定值;水的比热容cpw和热介质的比热容cpi变化不大,可取为常数; Cu、CA、FA
可由有关资料查得;总传热系数K通常也可由经验确定,所以换热器的年总费用F仅是冷却水出口温度t2
的函数。当F取最小值时,相应的t2
既为最优冷却水出口温度,进而可由式(7)、(8)得到所需的冷却水量和最优的传热面积。
3 程序设计
由上面分析可知,以上问题属于单变量最优化问题。对于此类问题求解方法比较成熟,可以用解析法和黄金分割法或函数逼近法等数值方法求解。这里,采借用MATLAB语言计算,采用其工具箱中Nelder
- Mead 单纯形法函数fmin2search ( )优化,定义TF ( )为目标函数(9)
,函数Water ( ) 、Ar2ea ( )则根据式(7)
、(8)分别用以求传热面积A和冷却水用量Wu。以上分析尽管是针对管壳式水冷却器而得出的结果,由于分析方法和传热机理相似,对于其它介质的管壳式换热器只要在公式上稍作变形即可得出类似的结论。因此,对管壳式换热器问题的优化具有一定的普遍性,其求解结果可以作为设计管壳式换热器重要依据,从而为节约生产成本,推动设计的科学性方面作出相应的贡献。程序清单如下:
clear all; clc
global T1 T2 G t1 JA beta K theta JW CW Cc Q
T1 = 135; T2 = 40; G = 4e4; t1 = 30;
JA = 400; beta = 0. 15; K = 840;
Theta = 7900; Jw = 0. 1; Cw = 4. 184;
Cc = 2. 092;Q = G3 (T1 - T2) ;
T0 = 50;
T2 = fiminsearch (@Totalfee, t0) ;
Fp rintf (‘优化结果: /n /n’)
Fp rintf (‘换热器最优出口温度: %. 2% s/n’, t2, ’℃’)
Allfee = totalfee ( t2 ) ; fp rintf (‘最小年费用为: %.
3f 元/n’, allfee)
[AW ] =Area_water ( t2) ; frintf (‘换热器传热面积为:
%.3fm^2 /n’,A)
fp rintf (‘每小时用水量为: %. 1fkg/h /n’,W)
fee1 = JA3 A3 beta; fee2 = JW3 theta3 W /1000; %
function J = totalfee ( t2)
global T1 T2 G t1 JA beta K theta JW CW Cc Q
[AW ] =Area_water( t2) ; J = JA3 A3 beta +JW3
theta3 W /1000%
function [A,W ] =Area_water ( t2)
global T1 T2 G t1 JA beta K theta JW CW Cc Q
var1 = T1 - t2; var2 = T2 - t1; dtm = ( var1 -
var2 ) / log( var1 /var2) ;
A =Q / (K3 dtm) ;W =Q /Cw/ ( t2 - t1) ;
4 设计实例
例:某石化公司需将处理量为G = 4 ×104 kg/h的煤油产品从T1 = 135℃冷却到T2 =
40℃,冷却介质是水,初始温度t1= 30℃。要求设计一台管壳式水冷却器(采用逆流操作)
,使该冷却器的年度总费用最小。以知数据如下:冷却器单位面积的总投资费用CA = 400元/m2
;冷却器年折旧率KF = 15%;冷却器总传热系数K = 840 kJ / (m2
•h•℃) ;冷却器每年运行时间7900h;冷却水单价Cu = 0.
1元/吨;冷却水比热容cpw =4. 184 kJ / ( kg•℃) ;煤油比热容cp
i = 2. 092kJ / ( kg•℃)
。按以知条件编制数据,启动以上优化设计程序.
查化工原理
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