高中数学教学中如何有效渗透数形结合思想

新课程标准中指出，高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”。数学思想方法有很多，以下我想结合自己的教学实践，以数形结合思想为例，谈谈我在教学中是如何使用教材使学生的数形结合能力逐步得到提高的。
数学是研究空间形式和数量关系的科学，数形结合思想是重要的数学思想之一，它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析研究对象的代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。它的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，在代数与几何的结合上寻找解题思路。它包含两个方面：“以形助数”，即借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系；“以数辅形”，即借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。正如我国著名的数学家华罗庚先生所说“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。
一. 利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想
在进行人教B版必修1第一章集合的教学时，由于学生刚接触集合这一概念，对集合之间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中我做了如下处理。
我先向学生介绍了集合的另一种表示方法维恩（Venn）图，即用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，然后让学生讨论两条封闭曲线能有多少种不同的位置关系，并让他们画出来。经过讨论，学生画出了四种不同的位置关系（如图）

接下来我让他们观察这四种关系的异同点，并引导他们用集合语言加以描述，发现（1）没有公共的部分，即集合没有共同的元素；（2）有公共的部分，即集合有共同的元素，但有些元素不在另一集合中；（3）完全在的内部，（4）与重合，即集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们把集合叫做集合的子集（）。再深入分析，发现（3）中集合有的元素不属于集合，而（4）中集合的元素完全一样，因此再把子集分为两类：真子集即集合是集合B的子集，并且集合中至少有一个元素不属于集合；集合相等即集合的每一个元素都是集合的元素，反过来，集合的每一个元素也都是集合的元素。通过维恩（Venn）图的直观表示，学生很快理解了“子集”、“真子集”、“集合相等”这些抽象的概念，体会了数形结合的思想。
在讲集合的运算这一节时，我先让学生试着从字面上理解“交”、“并”、“补”的含义，然后让他们利用维恩（Venn）图，从直观上感受“交”、“并”、“补”的意义，最后再以集合语言加以阐述，让学生从各个不同的角度体会集合的“交”、“并”、“补”运算，再次渗透数形结合的思想。
为了考察学生能否运用数形结合思想解决集合的有关问题，在本章的最后我出了一道这样的练习题，“某班有50名学生，先有32人参加电脑绘画比赛，后有24人参加电脑排版比赛，如果有3名学生这两项比赛都没参加，求这个班有多少同学同时参加了两项比赛？”从答题的结果来看，大部分学生都能运用维恩（Venn）图，以形助数，求出正确答案，对数形结合这一数学思想有个初步体会。
二. 通过对函数解析式的代数分析，画函数的图象，研究函数的性质，初步形成数形结合的思想
在进行人教B版必修1第二章函数的教学时，虽然学生在初中对函数已有了初步的认识，但对用集合语言描述函数的概念，用代数方法研究函数的单调性、奇偶性等性质还是感到困难，因此在教学中我做了如下处理。
在讲完函数的概念以后，我出了一道这样的练习题：下列图象中不能作为函数的图象的是（ ）

让学生从形的角度进一步理解函数的概念；在研究一次函数和二次函数的性质与图象时，由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图象，因此我先从学生已有知识出发，让学生列表、描点、连线，作出一次函数和二次函数的图象，引导他们先从数的角度认识单调性、奇偶性，对称性，然后再通过图象直观感觉单调性、奇偶性，对称性，让学生深刻体会“数缺形时少直观，形离数时难入微”。
三. 借助单位圆的直观性，利用与单位圆有关的三角函数线，运用数形结合思想解决有关问题
在进行人教B版必修4第一章基本初等函数（Ⅱ）的教学时，因为在必修1中对数形结合思想已经进行了有效的渗透，因此想在这一章中试着慢慢放手，让学生自己运用数形结合思想解决有关问题。以下我以《单位圆与三角函数线》这一节为例，说说我是如何借助单位圆,利用与单位圆有关的三角函数线引导学生运用数形结合思想的。
在《单位圆与三角函数线》这一节之前学习了三角函数的定义，该定义从代数角度揭示了三角函数值是一个“比值”。我让学生从代数形式分析了三角函数在各象限的符号,还让学生求了一些轴线角如的三角函数值，并分析了正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，学生都能得出答案，但让学生记住这些结论时就感到困难了。因此在完成单位圆与三角函数线的教学后，我让学生从几何的角度重新分析了以上问题。因为三角函数线是用轴上向量的长度表示三角函数的绝对值，用方向表示三角函数值的正负号，所以三角函数在各象限的符号直接能通过三角函数线的方向看出,对于这些轴线角的三角函数值及正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，我自制了几何画板课件，让学生直接从形的角度得到了答案。不仅如此，在角的变化过程中，有些学生还发现正弦值从0开始慢慢增大直到1，然后慢慢减小，当角的终边落在轴的非正半轴时，正弦值为0，再继续逆时针旋转，正弦值还是慢慢减小直到，接下来慢慢增大，当角的终边落在轴的非负半轴时，正弦值为0；而余弦值从1开始慢慢减小，当角的终边落在轴的非负半轴时，余弦值为0，再继续逆时针旋转，余弦值还是慢慢减小直到，接下来慢慢增大，当角的终边落在轴的非正半轴时，余弦值为0，然后继续增大直到1。继续观察，还发现每当角旋转一周时，正弦线、余弦线都会重复出现，这就得到了角与的三角函数间的关系，即，，也为以后理解三角函数的单调性、周期性等性质打下了基础。课后我留了两道选做题,一道是比较不是特殊角的三角函数值的大小,另一道是已知,求的值。从课后反馈来看，有一部分学生还是能通过三角函数线，利用数形结合的思想加以解决。
教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教育工作者应该追求的目标。