线性代数:AB=0,r(A)+r(B)<=n,请问此式何时取“=”?

2024年11月17日 19:38
有3个网友回答
网友(1):

如果矩阵B的列向量组中含有方程组AX=0的一个基础解系,则上述等式成立。
事实上,若矩阵A的秩为r,则方程组的基础解系中含有n-r个解向量,当矩阵B的列向量组中含有AX=0的一个基础解系时,矩阵B的秩就是n-r。
此时,r(A)=r,r(B)=n-r
所以 r(A)+r(B)=n。

网友(2):

齐次线性方程组Ax=0的基础解系有n-r(A)个解。而B的每一个列向量都满足Ax=0,所以如果B有r(B)个线性无关的列向量,那么这r(B)个列向量都是Ax=0基础解系中的元素,所以有r(B)≤n-r(A),也就是r(A)+r(B)≤n。

网友(3):

性质:r(AB) ≤ r(A),r(AB) ≤ r(B) 。
你写的 r(A)+r(B) ≤ 0 不成立。
因为一个矩阵的秩至少也是 0 ,如果成立,只能是 A=B=0 。