已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点（1,2）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于点B、C且三角形ABC为等边三角形，

抛物线y=ax^2+bx+c经过点（1,2）若a=1
y=x²+bx+c
y=x²+bx+1-b
三角形ABC为等边三角形，
BC=AC
与x轴交于点B(x1,0)、C(x2,0)
BC²=(x1-x2)²=b²+4b-4
AC²=[(x1-x2)/2]²+{[4(1-b)-b²]/4}²
b²+4b-4=[(x1-x2)/2]²+{[4(1-b)-b²]/4}²
(b²+4b-4)²=12(b²+4b-4)
b²+4b-4=0
b=-2+2倍根号2
b=-2-2倍根号2
b²+4b-4≠0
b²+4b-4=12
b=-2+2倍根号5
b=-2+2倍根号5
把四个b值代入y=x²+bx+1-b即可求出函数解析式

解：（1）由题意，a+b+c=2，
∵a=1，
∴b+c=1
抛物线顶点为A（-b2，c-b24）
设B（x1，0），C（x2，0），
∵x1+x2=-b，x1x2=c，△=b2-4c＞0
∴|BC|=|x1-x2|=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=b2-4c
∵△ABC为等边三角形，
∴b24-c=32b2-4c
即b2-4c=23•b2-4c，
∵b2-4c＞0，
∴b2-4c=23，
∵c=1-b，
∴b2+4b-16=0，b=-2±25
所求b值为-2±25．

（2）∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2矛盾．
∴a＞0．
∵b+c=2-a，bc=4a
∴b，c是一元二次方程x2-（2-a）x+4a=0的两实根．
∴△=（2-a）2-4×4a≥0，
∴a3-4a2+4a-16≥0，即（a2+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，与a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值为6．