第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛 答案

　　1．甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人。问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈均低于乙医院的？举例说明。
　　(x病治愈率=
　　解。可能。列表如下：
　　X病 Y病 病愈
　　甲医院病人数 10 90 0+63=63
　　甲医院病愈人数百分比 0% 70%
　　乙医院病人数 90 10 45+10=55
　　乙医院病愈人数百分比 50% 100%
　　设乙医院接受90个x病人，10个y病人，治愈率分别为50%和100%；甲医院接受10个x病人，90个y病人治愈率分别为0%和70%。则乙医院治愈的病人数是55人；甲医院治愈的病人数是63人。

　　2．在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米。三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米。那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？
　　解。设AG=a厘米，BG=b厘米。则

　　所以

　　以及，
　　所以，

　　由（1）和（2）得到， 平方厘米）。
　　解2。

　　分别向长方形ABCD外作梯形AQSD和BPRC使得AQ=AG, BP=BG, SD=CD=CR.
　　.设CD=AB=AG+BG=x.
　　则
　　即
　　整理得

　　3．甲、乙、丙三辆汽车分别从 的顶点,A,B,C出发，选择一个地点相会(AB=c,AC=b,BC=a)。每辆车沿直线路段到相会地点。三辆车的单位路程耗油量分别为 。要使三辆车路上所用的油量之和最少，相会地点应选在何处？最小油量是多少（用a,b,c表示）？
　　解。设会面地点在O，
　　（O在AB上取等号）
　　（O在AC上取等号）
　　（O在AB和AC的交点出A取等号）又
　　（当x=0时，即O取在A点时取等号）。
　　答。相会地点选在A点三人在路上所用的油量之和最少；最少值为
　　4．用十进位制表示的某些自然数等于它的各位数字之和的16倍。求所有这样
　　的自然数之和。
　　解。n不可能是一位数、两位数和四位数，

　　。

　　5．求同时满足下列三个条件的自然数
　　1） 2） 3） 。
　　解。若 不是整数。设

　　所以， k是169的因数。因此，

　　当k=169时， 不满足要求。
　　当
　　不满足要求。

　　答。

　　6．如图， 长方阵，行距和列距都是1。第6列上(除与第0行相交处外)，每一个阵点上放有一个靶标，而前5列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第0行第0列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物。若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物。那么
　　1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？
　　2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？
　　解。我们将第x列第y行的阵点记为(x,y).
　　在（6，a）处有一个靶标，从(0,0)到(6,a)的
　　直线上若有阵点B(x,y)(如下图),
　　则连接OA, B点在OA上，
　　连接BC. ，此即

　　，令最大公约数

　　AB线段上共有d-1个阵点。因此，在击毁靶标(6,a)之前，先要清除d-1个障碍物。
　　所以，要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹。
　　1） 若 , 且最大公约数(6,a)=1, 则靶标(6,a)只需要1发子弹就能击毁。不超过100的自然数中，既不能被2整除，也不能被3整除的数与6互质。
　　1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50；
　　1到100的自然数被3整除的数的个数=[100/3]=33；
　　1到100的自然数被6整除的数的个数=[100/6]=16。
　　故1到100的自然数或被2整除，或被3整除的数的个数=50+33-16=67。因此，100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33，即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁。
　　2） 若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物，那么最大公约数(6,a)=2。
　　100以内的自然数，能被2整除，但不能被6整除的数有50-16=34个.
　　所以，用两发子弹就能清除的靶标有34个。