高数，数列收敛与有界与极限三者的关系

2024年11月19日 22:33

有2个网友回答

网友（1）：

答：

数列收敛，即：
存在 N∈N+，使得n>N时，对于任意ε（ε>0），恒有：|Xn-a| < ε 成立，其中a就是该数列的极限

由此可知：数列收敛则数列极限存在，反之也是一样。
数列有界，即：

若存在M > 0,使得一切自然数n,恒有：|Xn| < M 成立，则称数列xn有界

有界数列不一定存在极限，如：xn=sinnx，显然，该数列 |sinnx|≤1，但是该数列没有极限，因为该数列在（-1,1）之间，没有收敛

综合：由上可以看出，数列收敛等价于数列存在极限；而数列有界和数列极限没有必然关系；作为拓展，这里可以告诉你：

当数列存在单调性（在取值内只有单调递增或递减）且有界时，该数列收敛。

上述定理可以用夹逼定理证明的。

网友（2）：

收敛必有届、有届不一定收敛ｏ