(1+x)y的二阶导数+y的一阶导数=㏑(x+1)的通解)

求(1+x)y"+y'=ln(x+1)的通解
解：∵令t=ln(x+1)，则e^t=x+1，(x+1)y'=dy/dt，(x+1)^2y"=d^2y/dt^2-dy/dt
代入原方程，化简得 d^2y/dt^2=te^t
==>dy/dt=(t-1)e^t+C1 (应用分部积分法，C1是常数)
==>y=(t-2)e^t+C1t+C2 (应用分部积分法，C2是常数)
==>y=(ln(x+1)-2)(x+1)+C1ln(x+1)+C2
∴原方程的通解是y=(ln(x+1)-2)(x+1)+C1ln(x+1)+C2。

解：∵齐次方程y"-7y'+12y=0的特征方程是r^2-7r+12=0，则r1=3，r2=4
∴此齐次方程的通解是y=c1e^(3x)+c2e^(4x)
(c1,c2是任意常数)
∵设原方程的解为y=ax+b，则代入原方程，化简得
12ax+(12b-7a)=x
==>12a=1，12b-7a=0
==>a=1/12，b=7/144
∴y=x/12+7/144是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=c1e^(3x)+c2e^(4x)+x/12+7/144。