请问矩阵的秩和向量组的秩在定义上和计算方法上有什么关系？

两者的定义你说的都对
两者的关系是
矩阵的秩等于矩阵列向量组的秩(即列秩),
而不是等于列数
矩阵的秩
也等于行向量组的秩,
即行秩
计算矩阵的秩:
用初等行变换化为梯矩阵,
非零行数即矩阵的秩
列变换也可用,
但行变换足够
计算向量组的秩:
将向量按列构成矩阵,
用初等行变换化梯矩阵,
非零行数即向量组的秩,
非零行的首非零元所在列对应的向量构成一个极大无关组

不用矩阵的秩也行。先从向量组里面任意找出两个向量a1,a2，判断a1,a2的分量是否对应成比例，如果不是，则a1,a2线性无关。继续往a1,a2中添加向量a3，如果a3可以由a1,a2线性表示，则a1,a2,a3线性相关，那么换一个向量a4添加到a1,a2中，继续判定a4是否可以由a1,a2线性表示。如果找不到一个向量，不能由a1,a2线性表示，那么a1,a2就是最大线性无关组。如果有一个向量a5，使得a5不能由a1,a2线性表示，那么a1,a2,a5线性无关。继续往a1,a2,a5中添加向量。重复以上步骤，直到最后不能再添加向量，使得所得向量组线性无关，那么最后得到的向量组就是最大线性无关组。
这个方法可以找出最大线性无关组，但是不能事前就判断出最大线性无关组所含向量个数。