好吧问答库 > 已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（﹣1+x）

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（﹣1+x）

2024年11月07日 12:19

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网友（1）：

解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），
∴f（x）=ax² +bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，
∴﹣

=﹣1，b=2a．
∵当x∈R时，函数的最小值为0，
∴a＞0，f（x）=ax² +bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，
∴f（x）_min =f（﹣1）=0，
∴a=c． ∴f（x）=ax² +2ax+a．
又f（1）=1，
∴a=c=

，b=

．
∴f（x）=

x² +

（x+1）² ．
（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）² ≤1，解得：﹣4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，
显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，
∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．
∴ （m+1﹣4）² ≤m，
∴1≤m≤9，
∴m_max =9．