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求微分方程d^2y⼀dx^2-3*dy⼀dx+2y=5的特解，要用的是观察法

2025年03月01日 06:50

有2个网友回答

网友（1）：

【方法一】
x*(dy/dx)
-
2y
=
x^3
*
e^x
两边同时除以
x^3
=>
(x
*
y
'
-
2y)
/
x^3
=
e^x
左边分子分母同时乘以
x
=>
(
y
'
*
x^2
-
y
*
(x^2)
'
)
/
x^4
=
(y
/
x^2)
'
=
e^x
两边同时积分
=>
y/x^2
=
e^x
+
c
=>
y
=
x^2
*
(e^x
+
c).
x
=
1，y
=
0，代入上式得到
c
=
-e，∴
y
=
x^2
*
(e^x
-
e).
【方法二】
利用一阶线性方程
y
'
+
p(x)
y
=
q(x)
的通解公式：
y
=
e^(-∫
p(x)
dx)
*
(c
+
∫
q(x)
*
e^(∫
p(x)
dx)
dx).
x*(dy/dx)
-
2y
=
x^3
*
e^x
=>
y
'
-
2/x
*
y
=
x^2
*
e^x
∴
p(x)
=
-2/x，q(x)
=
x^2
*
e^x，代入通解公式计算得到：
y
=
e^(∫
2/x
dx)
*
(c
+
∫
x^2
*
e^x
*
e^(∫
-2/x
dx)
dx)
=
x^2
*
(c
+
∫
e^x
dx)
=
x^2
*
(c
+
e^x).
x
=
1，y
=
0，代入上式得到
c
=
-e，∴
y
=
x^2
*
(e^x
-
e).

网友（2）：

由于右边是一个常数，一阶和二阶导数都是0，代入原方程中变为0
所以剩下的就是2y=5，这样就解出特解y=5/2