从圆上的该点做该弦的垂直平分线（当该垂直平分线经过圆心时），此时连接该点与弦的两端点，所构成的三角形的周长是最大的
设弦为AB，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点建立直角坐标系，并使圆心C在y轴正半轴上。
又设弦距为b，弦长为2a，则圆的半径为r=√(a²+b²)，C(0,b)，A(-a,0)，B(a,0)。在圆上找一点D，使△ABD周长最大，即要使得AD+BD最大。
（1）当AB是直径时，此时圆心与原点重合，∠D=90º，因此AD²+BD²=AB²=4a²
由均值不等式，(AD+BD)/2≤√[(AD²+BD²)/2]=√(2a²)，AD+BD≤2√2*a，当且仅当AD=BD时取等号。
所以当△ABD是等腰三角形时周长最大
（2）当AB不是直径时，设D(rcosθ,b+rsinθ)，则AD→=(rcosθ+a,rsinθ+b)，BD→=(rcosθ-a,rsinθ+b)
要使AD+BD最大，只要使(AD+BD)²最大，即AD²+2AD*BD+BD²最大
而AD²+BD²=(rcosθ+a)²+(rsinθ+b)²+(rcosθ-a)²+(rsinθ+b)²，化简得4r²+4brsinθ
2AD*BD=2AD→•BD→/cosD
=2[(rcosθ+a)(rcosθ-a)+(rsinθ+b)²]/cosD
化简得(4b²+4brsinθ)/cosD
所以(AD²+BD)²=4r²+4b²/cosD+4brsinθ(1+1/cosD)
因为b，r，cosD都是定值，要使上式最大，只要使sinθ最大，所以θ=π/2。
对应D的坐标就是(0,b+r)，即D在y轴上，此时显然有AD=BD，即当△ABD是等腰三角形时周长最长
供参考，请笑纳。
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