已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)(Ⅰ)若a1+a2+a3+…+an-1=29-

2024-10-31 13:31:39
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网友(1):

(Ⅰ)在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn中,
令x=0,可得a0=n,易得an=1.
再令x=1,可得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+a3+…+an-1 +an=n+1+a1+a2+a3+…+an-1
∴a1+a2+a3+…+an-1=2+22+23+…+2n-n-1=

2(1?2n)
1?2
-n-1=2n+1-n-3.
再根据2+22+23+…+2n=29-n,可得 2n+1-n-3=29-n,求得n=4.
(Ⅱ)由所给的等式可得 a3=
C
+
C
+
C
+…+
C
=
C
=
(n+1)?n?(n?1)?(n?2)
4×3×2×1
=
(n+1)?n?(n?1)?(n?2)
24