向量平面与直线交点问题

设 此交点为 D = （1， 1+2a, -1+a）,则， 向量BD 必须是 向量BA与向量AC的线性组合。即：
（0， 1+2a, -a）= x (4,2,3) + y(1,1,1)，
0 = 4x + y
1+2a = 2x + y
-a = 3x + y

解方程得 a = -1/4. 所以 交点为： D = （1， 1+2a, -1+a）=（1，-1/2， - 5/4）

向量AB=(-4,-1,1)
向量AC=(1,1,1)
设M位于平面ABC上，则根据平面向量的基本定理
=m+n=(-4m+n,-m+n,m+n)
M坐标为(-4m+n+5,-m+n+1,m+n+2)

把直线方程带入即可
但是你所给的直线方程似乎不是一个直线方程

答案：
设交点D ：（1，1+2a, -1+a）,
则向量BD 是向量BA与向量AC的线性组合。
即：
（0，1+2a, -a）= x (4,2,3) + y(1,1,1)，
0 = 4x + y
1+2a = 2x + y
-a = 3x + y

解方程得 a = -1/4.
所以 交点D ：（1，1+2a, -1+a）=（1，-1/2， - 5/4）