用洛必达法则求lim（1+sinx）^1⼀x的极限，x趋向于0

极限值为e。

解题过程如下：

1/(1+sinx)xcosx/1

=cosx/(1+sinx)

x-0

原是=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1

lna=1

a=e^1=e

答：原函数的极限值为e.

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应用条件

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

注意事项

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

极限值为e。

解题过程如下：

令a=lim(1+sinx)^(1/x)

则：lna=ln[lim(1+sinx)^(1/x)]=lim[ln(1+sinx)^(1/x)]

limln(1+sinx)^(1/x)=lim1/xln(1+sinx)=lim[ln(1+sinx)/x]

x→0时，ln(1+sinx)-ln(1+sin0)=ln(1+0)=ln1=0

根据洛必达法则，1/(1+sinx)xcosx/1=cosx/(1+sinx)

因此，ln[lim(1+sinx)^(1/x)]=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1

即：lna=1

a=e^1=e

扩展资料：

洛必达法则的使用条件：

1、分子分母同趋向于0或无穷大；

2、在变量所趋向的值的去心邻域内，分子和分母均可导；

3、分子和分母分别求完导后比值存在或趋向于无穷大。

即：设函数f(x)和F(x)满足下列条件： 

（1）x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0; 

（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0; 

（3）x→a时，lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 

则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))。

解：令a=lim(1+sinx)^(1/x)
lna=lnlim(1+sinx)^(1/x)
lna=limln(1+sinx)^(1/x)
lna=lim1/xln(1+sinx)=limln(1+sinx)/x
x-0,ln(1+sinx)-ln(1+sin0)=ln(1+0)=ln1=0
x-0,分母-0
0/0型
洛必达法则
1/(1+sinx)xcosx/1
=cosx/(1+sinx)
x-0
原是=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1
lna=1
a=e^1=e
答：原函数的极限值为e.

本题如果一定要用洛必达法则，那么，先求自然对数的极限。

解：
lim ln[(1+sinx)^(1/x)]
x→0
=lim (1/x)ln(1+sinx)
x→0
=lim ln(1+sinx)/x
x→0
=lim [cosx/(1+sinx)]/1
x→0
=cos0/(1+sin0)
=1/(1+0)
=1
lim [(1+sinx)^(1/x)]=e¹=e
x→0