已知函数f(x)=a3x3?a+12x2+x+b,其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5

2025年03月17日 23:53
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(1)求导函数得f′(x)=ax2-(a+1)x+1
∵若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4
∴f′(2)=4a-2(a+1)+1=5
∴2a=6,∴a=3
∵点P(2,f(2))在切线方程y=5x-4上
∴f(2)=5×2-4=6,∴2+b=6,∴b=4
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4;
(2)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x?
1
a
)(x?1)

①当0<a<1,即
1
a
>1
时,函数f(x)在区间(-∞,1)及(
1
a
,+∞)上为增函数;在区间(1,
1
a
)上为减函数;
②当a>1,即
1
a
<1
时,函数f(x)在区间(-∞,
1
a
)及(1,+∞)上为增函数;在区间(
1
a
,1)上为减函数;
(3)由(2)得,函数f(x)在区间(-∞,
1
3
)及(1,+∞)上为增函数;在区间(
1
3
,1)上为减函数;
f(x)极大值=f(
1
3
)=
4
27
+b
,f(x)极小值=f(1)=b
∵方程f(x)=0有三个根,
f(x)极大值=f(
1
3
)=
4
27
+b>0
,f(x)极小值=f(1)=b<0
?
4
27
<b<0

∴b的取值范围为(?
4
27
,0)