已知函数f(x)＝a3x3?a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5

（1）求导函数得f′（x）=ax²-（a+1）x+1
∵若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5
∴2a=6，∴a=3
∵点P（2，f（2））在切线方程y=5x-4上
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³-2x²+x+4；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a(x?

1

a

)(x?1)
①当0＜a＜1，即

1

a

＞1时，函数f（x）在区间（-∞，1）及（

1

a

，+∞）上为增函数；在区间（1，

1

a

）上为减函数；
②当a＞1，即

1

a

＜1时，函数f（x）在区间（-∞，

1

a

）及（1，+∞）上为增函数；在区间（

1

a

，1）上为减函数；
（3）由（2）得，函数f（x）在区间（-∞，

1

3

）及（1，+∞）上为增函数；在区间（

1

3

，1）上为减函数；
∴f(x)极大值＝f(

1

3

)＝

4

27

+b，f（x）_极小值=f（1）=b
∵方程f（x）=0有三个根，
∴f(x)极大值＝f(

1

3

)＝

4

27

+b＞0，f（x）_极小值=f（1）=b＜0
∴?

4

27

＜b＜0
∴b的取值范围为(?

4

27

，0)．