求不定积分 1⼀根号[x(1-x)] dx

令x=sin²t，则dx=2sintcostdt

√x=sint 且 √(1-x)=cost

所以

原积分

=∫2dt

=2t+C

=2arcsin√x+C

其中C为常数

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

简单计算一下，答案如图

令x=sin²t，则dx=2sintcostdt
√x=sint 且 √(1-x)=cost
所以
原积分
=∫2dt
=2t+C
=2arcsin√x+C
其中C为常数

这个是对于换元的具体过程。(对于以前解答的网友的补充)
令x-1/2＝1/2sin u
则 sin u＝2x-1
所以 u＝arcsin(2x-1)

x-x^2 = 1/4-(x-1/2)^2
let
x-1/2 =(1/2) sinu
dx =(1/2)cosu du
∫ dx√[x(1-x)]
=∫ du
=u + C
=arcsin(2x-1) +C