好吧问答库 > 设v=v（x，y）有连续的一阶偏导数，u=u（x，y）=xv+yφ（v）+ψ（v），其中φ，ψ可微，且x+yφ′（v）+

设v=v（x，y）有连续的一阶偏导数，u=u（x，y）=xv+yφ（v）+ψ（v），其中φ，ψ可微，且x+yφ′（v）+

2024年11月23日 03:22

有1个网友回答

网友（1）：

解答：证明：由u=u（x，y）=xv+yφ（v）+ψ（v），得
u_x=v+xv_x+yφ′（v）v_x+ψ′（v）v_x，
而x+yφ′（v）+ψ′（v）=0，
∴u_x=v
∴u_xx=v_x，u_xy=v_y，
又u_y=xv_y+φ（v）+yφ′（v）v_y+ψ′（v）v_y=φ（v），
∴u_yy=φ′（v）v_y，u_yx=φ′（v）v_x；
于是u_xx=v_x，u_yy=φ′（v）v_y，u_xy=v_y，u_yx=φ′（v）v_x，
∴

?2u

?x2

?2u

?y2

?2u

?x?y

)2＝vxφ′(v)vy?uxy?uyx=v_xφ′（v）v_y-v_yφ′（v）v_x=0．