为什么除法会存在无限循环小数？

LZ您好
“平均分成一定的分量，一定会分完”和“分出来的量能用有限小数表示”是不相干的两码事！也即“分完”和“除不尽”可以同时存在。
实际上，只要分母的因数除开2和5之外，还有其他质数，则一旦发生除不尽，必然其结果无法用有限小数表示。

譬如，将1平均分成3份，每份的量是0.333333.....
但说来“奇怪”，0.333X3=0.999;0.3333X3=0.9999然而0.3333...X3=1
在这个问题中，我们平均分完了1这个玩意。然而每一份的大小都不能用有限小数表示。二者是共存的，也即除不尽和分完是互不干涉的问题！
而我们也能用更为科学的手段证明除不尽变循环的问题……
假设存在一个分数m/q （m,q二者为正整数）
由除法性质知道这个分数实际上等价于m÷q
今m无法被q除尽,会得到商k和余数r
r的取值范围当然是1~q-1
继续计算，则是r*10,再与q相除，会得到一个新的余数r1
显然r1取值范围依旧是1~q-1,且≠r(如果等于r，循环节就出来了,如果r=0，则就是除尽了，与除不尽违背。)
之后循环进行，最多到r(q),1~q-1内的余数必然会取到（抽屉原则）
所以分母为q的数，一旦除不尽，一定会发生循环，且最小循环节有q-1位
顺便，对于无限循环小数，他一定反过来都能化为分数形式，因此整数，有限小数，无限循环小数归为一个大类：有理数。

其实关键是你自己说的“平均”，只是在要平均时才会出现循环小数，有些情况下如你说的要分完，就不满足“平均”了。