证明：不妨设a≥b≥c，此时
≤1 a
≤1 b
，1 c
∵a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），
于是由排序不等式可得：
?a（b+c-a）+1 c
?b（c+a-b）+1 a
?c（a+b-c）≤1 b
?a（b+c-a）+1 a
?b（c+a-b）+1 b
?c（a+b-c）=a+b+c，1 c
∴
?a[（b-a）+c]+1 c
?b[（c-b）+a]+1 a
?c[（a-c）+b]≤a+b+c，1 b
即
?a（b-a）+1 c
?b（c-b）+1 a
?c（a-c）≤0，同乘abc得，1 b
a2b（b-a）+b2c（c-b）+c2a（a-c）≤0，
∴a2b（a-b）+b2c（b-c）+c2a（c-a）≥0，
上式当且仅当
=1 a
=1 b
或者a（b+c-a）=b（c+a-b）=c（a+b-c），即a=b=c时取等号．1 c
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