一个函数可导，怎么证明它的导数连续？

证明:用反证法，设

lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。

如此一来，取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于

epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，

| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。

然后考虑在a点导数的定义:

lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a)，

考虑闭区间 [a,x] (或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的)，由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得

[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c)，

接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间)，到那个时候，就总是有

f'(c) > L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有

f'(a) >= L' > f'(a)，这显然是一个矛盾。

同理，你也可以证明，当L < f'(a)时也会出现矛盾，L'的取法还是一样， epsilon 你取 (f'(a) - L)/2即可。

1、函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数。

2、设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。

3、在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

楼上二位的证明方法都有问题，以下才是严格的证明。
证明：用反证法，设
lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。
如此一来，取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。
然后考虑在a点导数的定义：
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a)，
考虑闭区间 [a,x] （或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的），由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c)，
接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)（注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间），到那个时候，就总是有
f'(c) > L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f'(a) >= L' > f'(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L < f'(a)时也会出现矛盾，L'的取法还是一样， epsilon 你取 (f'(a) - L)/2即可。保证可以证的出来，不是一楼说的有问题。
还有问题可以追问。

f 可导，则 f 连续
a点有极限，则点a处f可导，且存在二阶导数（ 二阶导大于零，a为极小值；二阶导小于零，a为极大值 ）
二阶导数存在，则a点的导数可导
所以f的导函数在a点处连续

连续不一定可导，可导一定连续 这是定理

就是这么证明的

题目有问题，函数可导，但函数的导数不一定连续。
比如f(x)=x^2*sin(1/x)且x=0时让f(0)=0
函数在0处可导，但f(x)的导数在0处不连续。

因为函数f(x)可导，则可得出lim△x->0 [f(x+△x)-f(x)]/△x存在记为A，（A为常数），而根据函数连续定义只要证明lim△x->0[f(x+△x)-f(x)]=0即可，lim△x->0[f(x+△x)-f(x)]=lim△x->0[f(x+△x)-f(x)]/△x·△x，在这个式子中可以找到lim△x->0 [f(x+△x)-f(x)]/△x，记为f(x)',则原式=f(x)'·△x=0,(因为△x趋向于0，而f(x)'为A，是一个常数)，所以证得lim△x->0[f(x+△x)-f(x)]=0，所以函数f(x)连续