求证：如果函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

证明：∵f(x)的定义域关于原点对称， ∴f(-x)，f(x)皆有意义， 又∵ ， 设 ， ∵g(x)，h(x)的定义域都是关于原点对称的， ① ，∴g(x)是奇函数； ② ，∴h(x)是偶函数； 综上可知，f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

证明如下：

设g（x）为一奇函数，h（x）为一偶函数

g（x）＝－g（－x）

h（x）＝h（－x）

令g（x）＋h（x）＝f（x）

f（－x）＝g（－x）＋h（－x）＝－g（x）＋h（x）

跟上面的相加2h（x）＝f（x）＋f（－x）

所以h（x）＝｛f（x）＋f（－x）｝／2

把h（x）代入g（x）＋h（x）＝f（x）

可求g（x）＝｛f（x）－f（－x）｝／2

f（x）＝｛f（x）－f（－x）｝／2＋｛f（x）＋f（－x）｝／2

＝g（x）＋h（x）

f（x）＝（f（x）＋f（－x））／2＋（F（X）－F（－X））／2设g（x）＝｛f（x）－f（－x）｝／2h（x）

＝｛f（x）＋f（－x）｝／2g（－x）

＝｛f（－x）－f（x）｝／2

＝－g（x）则g（x）是奇函数。

扩展资料

求函数定义域的常用方法有：

1、根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；

2、根据实际问题的要求确定自变量的范围；

3、根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。