二次函数 定义与定义表达式编辑本段 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
重要概念:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
二次函数表达式的右边通常为二次。
x是自变量,y是x的二次函数 二次函数的三种表达式编辑本段 ①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1 2)(x-x22)
以上3种形式可进行如下转化:
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax2+bx+c,其顶点坐标为[(-b/2a),(4ac-b2)/4a],即
h=-b/2a=(x1 +x2)/2
k=(4ac-b2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b2_4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 二次函数的图像编辑本段 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 抛物线的性质编辑本段 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ([-b/2a ,(4ac-b2)/4a ]
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0,则a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0,则a、b要异号
事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax2+c(a≠0)
7.定义域:R
值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b2)/4a,+∞);②[t,+∞)
奇偶性:偶函数
周期性:无
解析式:
①y=ax2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b2)/4a);
⑷Δ=b2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)2+t[配方式]
此时,对应极值点为(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a;
问题呢?
题目呢,不过我觉得二次函数什么的真是太简单了