好吧问答库 > 二重积分：∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy, 其中D是由圆周X^2+Y^2=Rx所围成的闭

二重积分：∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy, 其中D是由圆周X^2+Y^2=Rx所围成的闭

2024年11月18日 22:47

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网友（1）：

x² + y² = Rx ==> (x - R/2)² + y² = (R/2)² ==> r = Rcosθ
这是在y轴右边，与y轴相切的圆形
所以角度范围是有- π/2到π/2
又由于被积函数关于x轴对称
由对称性，所以∫∫D = 2∫∫D(上半部分)，即角度范围由0到π/2
∫∫ √(R² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(R² - r²) * r drdθ
= 2∫(0，π/2) dθ ∫(0，Rcosθ) √(R² - r²) * r dr
= 2∫(0，π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(R² - r²)^(3/2) |(0，Rcosθ)
= (- 2/3)∫(0，π/2) [(R² - R²cos²θ)^(3/2) - R³] dθ
= (- 2/3)∫(0，π/2) R³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)R³ * (2!!/3!! - π/2)，这里用了Wallis公式
= (- 2/3)R³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)R³

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