解不等式:①|2x-1|<|x-1|; ②|x+2x?1|>1;③|x+1|+|x+2|>3; ④...

2025年03月17日 13:16
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①|2x-1|<|x-1|?4x2-4x+1<x2-2x+1?3x2-2x<0?0<x<
2
3

∴|2x-1|<|x-1|的解集为{x|0<x<
2
3
};
②|
x+2
x?1
|>1?(
x+2
x?1
)
2
>1?x2+4x+4>x2-2x+1且x≠1,
解得x>-
1
2
且x≠1.
∴原不等式的解集为:{x|-
1
2
<x<1或x>1};
③令f(x)=|x+1|+|x+2|,则f(x)=
?2x?3,x<?2
3,?2≤x≤?1
2x+3,x>?1

∵|x+1|+|x+2|>3,
∴当x<-2时,-2x-3>3,
解得x<-3;
当-2≤x≤-1时,|x+1|+|x+2|=3,不符合题意;
当x>-1时,2x+3>3,解得x>0.
∴原不等式的解集为:{x|x<-3或x>0};
④令g(x)=|x+2|-|x-1|+3,则g(x)=
0,x<?2
2x,?2≤x≤1
6,x>1

∵|x+2|-|x-1|+3>0,
∴当-2≤x≤1时,2x>0,
∴0<x≤1;
当x>1时,|x+2|-|x-1|+3=6>0;
∴x>1;
∴原不等式的解集为:{x|x>0}.