n维向量组A线性无关的充分必要条件是R（A）=n吗

2025年03月12日 15:10

有2个网友回答

网友（1）：

证明必要性
设a为任一n维向量
因为a1 a2 …… an线性无关
而a1 a2  …… an a是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1 a2  …… an线性表示
且表示式是唯一的
充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2  …… an线性表示,
故单位坐标向量组e1 e2  …… en能由a1 a2  …… an线性表示,
于是有n=R(e1 e2  …… en)≤R(a1 a2 ……  an)≤n
即R(a1 a2  …… an)=n
所以a1 a2  …… an线性无关

网友（2）：

α1,α2,…αn线性无关,对任向量X
设X=t1 *α1+t2 *α2…+tn *αn
它们组成的方程组的系数行列式不为0
故方程组有唯一解
任一n维向量可由它们表示
故它们可以线性表示单位向量
故与单位向量组等价