1^k+2^k+……+n^k=？

这个通项公式是一个非常特别的
公式为
1^k+2^k+...+n^k=((n+1+p)^(k+1)-p^(k+1))/(k+1)
我们先要求一个数字p,p满足以下规则
(1+p)^(k+1)-p^(k+1)=0这个里面首先要展开,展开后对于p,p^2 p^3等,我们要当成一个整体对待,比如
k=1的时候
(1+p)^2-p^2=0
1+2p=0 p=-1/2
k=2的时候
(1+p)^3-p^3=0
1+3p+3p^2=0
其中p=-1/2,代入
p^2=1/6
也就是说,p p^2 p^3这些数字之间相对独立
我们来看看k=1的时候我们计算的通项
1+2+..+n=((n+1+p)^2-p^2)/2=((n+1)^2+2(n+1)p)/2
p=-1/2代入
=((n+1)^2-(n+1))/2=n(n+1)/2

我们来看k=2的时候
p=-1/2 p^2=1/6前面已经计算了,不再重复
1^2+2^2+....+n^2=((n+1+p)^3-n^3)/3
=((n+1)^3+3(n+1)^2*p+3(n+1)p^2)3
代入p,p^2
=((n+1)^3-3(n+1)^2/2+3*(n+1)/6)/3
=(n+1)((2(n+1)^2-3(n+1)+1)/6
=(n+1)((2n^2+4n+2-3n-3+1)/6
=(n+1)(2n^2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6

举两个例子告诉大家怎么计算,其他的推导还是让自己完成吧

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/16456008.html?si=8

问题的提出初学数学归纳法时,常用数学归纳法证明下列一些等式:(一)1+2+3+…n=1/2n(n+1) (二)1~2+2~2+3~2+…+n~2=1/6n(n+1)(2n+1)(三)1~3+2~3+3~3+…+n~3=1/4n~2(n+1)~2 (四)1×2+2×3+…+n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2)(五)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)由于学生已学习了数列的有关初步知识,所以很容易将上述各式左边各个加数与数列的各项联系起来,于是这些等式就变为求相应数列的前 n 项和的公式了,但仔细观察,只有第一个等式中各个加数可构成等差数列,其余各式中各项加数虽能构成数列,但既不是等差数列,也不是等比数列。很难求出其和。当然,这些等式若用数学归纳法是很容易证明的,那么它是如何求出来的呢?是否也有公式或一般求法呢?学生对此往往很感兴趣。

CVB..B.B.;;LB..G.G.B

trrg