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高等数学证明证明函数f(x)=|x-2| 2在x=0处连续但不可导

rt在线等，要考试的。。希望准确的答案式子是f(x)=|x-2|+2

2024年11月16日 14:21

有3个网友回答

网友（1）：

是x=2处么？

证明：
f(x)=4-x, x<=2

x, x>2

x=2处函数的左极限为：lim(x->2-)f(x)=lim(x->2-)(4-x)=2
右极限为：lim(x->2+)f(x)=limlim(x->2+)(x)=2
且f(2)=|2-2|+2=2
所以在x=2处满足：
lim(x->2-)f(x)=lim(x->2+)f(x)=f(2)
所以连续

由f(x)得到
f'(x)=-1, x<=2
1, x>2
所以x=2处左导数f'(2-)=-1
右导数f'(2+)=-1
因为左导数≠右导数
所以不可导

网友（2）：

因为 lim(f(x)/x)存在所以当(x->0) 时 limf(x)=0 （同阶无穷小）
又因为f（x）在x=0处连续所以f（0）=0 （函数连续的定义）

所以：f'(0)=lim[f(x)-f（0）]/(x-0)=lim[f(x)/x] (x->0) （用定义式求导数）
所以存在并且 f'(0)= lim[f(x)/x] (x->0)

网友（3）：

把函数列清楚一点