好吧问答库 > 实系数一元二次方程 x^2-(2a+1)x+a+2=0有虚根且这个根的立方是实数求a的值

实系数一元二次方程 x^2-(2a+1)x+a+2=0有虚根且这个根的立方是实数求a的值

求详解过程

2024年12月02日 13:40

有4个网友回答

网友（1）：

有虚根，首先判别式=4a^2-7<0

解得 -根号7/2
所以所得的虚根为x1=(2a+1)/2+根号（4a^2-7）/2
x2=(2a+1)/2-根号（4a^2-7）/2

其中含有虚数的部分都是根号（4a^2-7）/2

为了简便，设实部=p,含有虚数的部分=q

则根的平方=(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3

或=(p-q)^3=p^3-3p^2q+3pq^2-q^3

你应该学过，虚数的偶次幂是实数，奇次幂仍未虚数，要想根为实数，必须把展开式中的虚数部分（奇次幂部分）消去才可以

根据上述两个式子，不难看出，需要3p^2q+q^3=0

化简3p^2=-q^2

带入

3(2a+1)^2/4=(7-4a^2)/4

解得a=-1或1/4

千万别忘了检验判别式

最后a=-1或1/4

反正就是这个思路，如果我算错了你再算一遍

网友（2）：

先证明一个一般规律
设z=a+bi
则z³=a³+3a²bi+3a（bi）²+（bi）³
=a³-3ab²+（3a²b-b³）i
如果z³是实数，那么3a²b-b³=0，b=0或者3a²=b²
x^2-(2a+1)x+a+2=0
△=（2a+1）²-4（a+2）=4a²-7＜0
x=（2a+1）/2±[√（7-4a²）/2]i
所以3[（2a+1）/2]²=7-4a²/4
4a²+3a-1＝0
a=1/4或者a=1

网友（3）：

设该虚根为：r（cosθ+isinθ）（r>0）
代入x²-（2a+1）x+a+2=0有：
r²（cos2θ+isin2θ）-（2a+1）（cosθ+isinθ）+a+2=0
[r²cos2θ-（2a+1）cosθ+a+2] + i[r²sin2θ-（2a+1）sinθ]=0
∴r²cos2θ-（2a+1）cosθ+a+2=0
∴r²（2cos²θ-1）-（2a+1）cosθ+a+2=0。。。。。1
r²sin2θ-（2a+1）sinθ=0
2r²sinθcosθ-（2a+1）sinθ=0
又根r（cosθ+isinθ）是虚根，sinθ≠0
∴2r²cosθ-（2a+1）=0。。。。。。。。。。。。2
而[r（cosθ+isinθ）]³=r³cos3θ +r³isin3θ是个实数，
∴r³sin3θ=0即：sin3θ=0
而sin3θ=sin（θ+2θ）=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ（2cos²θ-1）+2sinθcos²θ
=sinθ（4cos²θ-1）
∴sinθ（4cos²θ-1）=0
又sinθ≠0
∴4cos²θ-1=0
cosθ=±1/2
cosθ=1/2时，代入1式，2式子有：
-r²+3=0
r²-（2a+1）=0
解：a=1
cosθ=-1/2时，代入1式子，2式子有：
-r²+4a+5=0
-r²-（2a+1）=0
解：a=-1
∴a的值为：a=1或a=-1

网友（4）：

由题意可知该方程的两个根分别是x1＝(2*a+1)/2+（1－a＾2）＾（1／2）＊i，x2＝(2*a+1)/2－（1－a＾2）＾（1／2）＊i，
假设这两个根有字母表示即：x＝k×i＋m
则x＾3＝（－k＾3＋3＊k＊m＾2）＊i＋（m＾3－3＊m＊k＾2）有题意知X的三次方是实数，故虚部的系数为零从而得出
－k＾3＋3＊K＊m＾2＝0即k＾2＝3＊m＾2带入即1－a＾2＝3＊（a＋1／2）＾2从而解得a＝（－3＋（13）＾1／2）／8或a＝（－3＋（13）＾1／2）／8完毕，希望对你有所帮助

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