好吧问答库 > 设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．（Ⅰ）若a2?a9=130，a4+a7=31，求数列{an

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．（Ⅰ）若a2?a9=130，a4+a7=31，求数列{an

2024年11月14日 14:15

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网友（1）：

（Ⅰ）解：∵{a_n}是等差数列，由性质知a₂+a₉=a₄+a₇=31，
∴a₂，a₉是方程x²-31x+130=0的两个实数根，解得x₁=5，x₂=26，
当a₂=5，a₉=26时，d=3，a_n=3n-1；当a₂=26，a₉=5时，d=-3，a_n=-3n+32；
∴a_n=3n-1或a_n=-3n+32；
（Ⅱ）证明：由题意知Sn＝na+

n(n?1)

d，
∴bn＝

＝a+

n?1

d，
∵b₁，b₂，b₄成等比数列，∴b22＝b1b4，
∴(a+

d)2＝a(a+

d)，∴

ad?

d2＝0，
∴

d(a?

d)＝0，
∵d≠0，∴a＝

d，∴d=2a，
∴Sn＝na+

n(n?1)

d＝na+

n(n?1)

2a＝n2a，
∴左边=Snk＝(nk)2a＝n2k2a，右边=n2Sk＝n2k2a，∴左边=右边，
∴Snk＝n2Sk（k，n∈N^*）成立．

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．（Ⅰ） 若a2?a9=130，a4+a7=31，求数列{an

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．（Ⅰ）若a2?a9=130，a4+a7=31，求数列{an