正余弦定理的公式与基本作用

编辑本段正弦定理定理概述　　a/sina=b/sinb=c/sinc=2r
　　正弦定理(sine
theorem)　（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
　　（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
　　（3）运用a：b：c=sina：sinb：sinc解决角之间的转换关系
　　直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
证明　　步骤1
　　在锐角△abc中，设bc=a，ac=b，ab=c。作ch⊥ab垂足为点h
　　ch=a·sinb
　　ch=b·sina
　　∴a·sinb=b·sina
　　得到
　　a/sina=b/sinb
　　同理，在△abc中，
余弦b/sinb=c/sinc
　　步骤2.
　　证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
　　如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
　　作直径bd交⊙o于d.
　　连接da.
　　因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度
　　因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠d等于∠c.
　　所以c/sinc=c/sind=bd=2r
　　类似可证其余两个等式。
编辑本段余弦定理　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
　　直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
余弦定理性质　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c
三角为a，b，c
，则满足性质——
　　a^2
=
b^2+
c^2
-
2·b·c·cosa
　　b^2
=
a^2
+
c^2
-
2·a·c·cosb
　　c^2
=
a^2
+
b^2
-
2·a·b·cosc
　　cosc
=
(a^2
+
b^2
-
c^2)
/
(2·a·b)
　　cosb
=
(a^2
+
c^2
-b^2)
/
(2·a·c)
　　cosa
=
(c^2
+
b^2
-
a^2)
/
(2·b·c)
　　（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）
　　第一余弦定理（任意三角形射影定理）
　　设△abc的三边是a、b、c，它们所对的角分别是a、b、c，则有
　　a=b·cos
c+c·cos
b，
b=c·cos
a+a·cos
c，
c=a·cos
b+b·cos
a。
余弦定理证明　　平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理）　∵如图，有a+b=c
(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）
　　∴c·c=(a+b)·(a+b)
　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cos(π-θ)　　（以上粗体字符表示向量）
　　又∵cos(π-θ)=-cosθ　　∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*cosc
　　即
cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b
　　同理可证其他，而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosc移到左边表示一下。
平面几何证法　　在任意△abc中
　　做ad⊥bc.
　　∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
　　则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
　　根据勾股定理可得：
　　ac2=ad2+dc2
　　b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
　　b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2
　　b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2
　　b2=c2+a2-2ac*cosb
　　cosb=(c2+a2-b2)/2ac

正弦定理(Sine
theorem)　内容　　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）
余弦定理　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：
　　第一类是已知三角形两边及夹角，求第三边；
　　第二类是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
编辑本段余弦定理性质　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c
三角为A，B，C
，则满足性质——
　　a^2
=
b^2+
c^2
-
2·b·c·cosA
　　b^2
=
a^2
+
c^2
-
2·a·c·cosB
　　c^2=
a^2
+
b^2-
2·a·b·cosC
　　cosC
=
(a^2
+
b^2
-
c^2)
/
(2·a·b)
　　cosB
=
(a^2
+
c^2
-b^2)
/
(2·a·c)
　　cosA
=
(c^2
+
b^2
-
a^2)
/
(2·b·c)
　　（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）
　　第一余弦定理（任意三角形射影定理）
　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
　　a=b·cos
C+c·cos
B，
b=c·cos
A+a·cos
C，
c=a·cos
B+b·cos
A。