求由曲线y=e∧-x与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积

2π - 4π/e

解题过程如下：

x = 0, y = e^0 = 1

x = 1, y = 1/e

绕y轴旋转, 用y做自变量较方便: y = e^(-x), x = -lny

0 < y < 1/e时, 旋转体为: 截面为半径=1, 高为1/e的圆柱, 体积V1 = π*1²*1/e = π/e

1/e < y < 1处, 旋转体截面为以|-lny|为半径的圆, V2 = ∫πln²ydy

= πy(ln²y - 2lny + 2) (1/e ->1)

= π(0 - 0 +2) - π(1 + 2 + 2)/e

= 2π - 5π/e

V = V1 +V2 = π/e + 2π - 5π/e

= 2π - 4π/e

幂函数是基本初等函数之一。

一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

扩展资料

性质

正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

如图

定积分的旋转体