解答：（1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数：
证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[-1，1]有
＞0，f(m)+f(n) m+n
可设x1=m，x2=-n，则
＞0，即f(x1)+f(?x2)
x1?x2
＞0，f(x1)?f(x2)
x1?x2
当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
综上：函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
又由f(x+
)＜f(1?x)，1 2
得
，解得0≤x＜
?1≤x+
≤11 2 ?1≤1?x≤1 x+
＜1?x1 2
，1 4
∴不等式f(x+
)＜f(1?x)的解集为{x|0≤x＜1 2
}；1 4
（3）∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（1）=1，
要使得对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，
只需对任意的a∈[-1，1]时-2at+2≥1，即-2at+1≥0恒成立，
令y=-2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[-1，1]时y≥0恒成立，
因此只需要
，解得?
?2t+1≥0 2t+1≥0
≤t≤1 2
，1 2
∴实数t的取值范围为：?
≤t≤1 2
．1 2
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