1-2014中各有1007个奇数、偶数，根据偶数的和还是偶数，可得2、4、6…2014这些偶数的和还是偶数，根据奇数个奇数的和是奇数，可得1、3、5…这1007个奇数的和是奇数，根据奇数+偶数=奇数，可得1+2+3+…+2013+2014的和是一个奇数．故选：A．
