勾股定理的证明方法 带图！！！

勾股定理的证明方法如下，共5种方法：

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a²+b²=c²。勾股定理是余弦定理中的一个特例。

欧几里得证明法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c²。

简单证明方法如下：

利用相似三角形性质可证明勾股定理，

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.  

在ΔADC和ΔACB中， 

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， 

∠CAD = ∠BAC， ∴  ΔADC ∽ ΔACB. 

AD∶AC = AC ∶AB， 即  AC²=AD·AB. 

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有BC²=BD·AB

∴AC²+BC²=(AD+DB)·AB=AB²，即 a²+b²=c²

边长为a的正方形分成4个全等直角三角形和1个正方形，三角形的两直角边为c，

b斜边a。面积相等，可得a²=b²+c²

我见过最简单的证明勾股定理的方法是利用射影定理：

已知：△ABC是直角三角形，∠C=90°。
求证：AC²+BC²=AB²
证明：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD、BD分别是AC、BC在斜边AB上的射影。
由射影定理可得：
AC²=AD·AB ， BC²=BD·AB
∴AC²+BC²=AD·AB +BD·AB=AB·（AD+BD）=AB²