第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
初二 第2试
2006年4月16日 上午8:30至lO:30 得分___________
一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1.下列四组根式中,是同类二次根式的一组是( )
2.要使代数式 有意义,那么实数x的取值范围是( )
3.以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形的两底,这样的梯形( )
(A)能作一个. (B)能作两个. (C)能作无数个. (D)一个也不能作.
(英汉词典:Fig.figure的缩写,图;quadrilateral四边形;diagonal对角线;value数值;variable变量;to depend on取决于;position位置)
(A)是完全平方数,还是奇数. (B)是完全平方数,还是偶数.
(C)不是完全平方数,但是奇数. (D)不是完全平方数,但是偶数.
6.将任意一张凸四边形的纸片对折,使它的两个不相邻的顶点重合,然后剪去纸片的不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外的两个顶点重合,再剪去不重合的部分后展开,此时纸片的形状是( )
(A)正方形. (B)长方形. (C)菱形. (D)等腰梯形.
7.若a,b,c都是大于l的自然数,且 =252b,则n的最小值是( )
(A)42. (B)24. (C)21 (D)15
(英汉词典:two-placed number两位数;number数,个数;to satisfy满足;complete square完全平方(数);total总的,总数)
9.下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜,其中歌曲J是新上榜的歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注的则表明名次没有变化,已知每首歌的名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,5,7名的歌曲分别是( )
(A)D,E,H. (B)C,F,I. (C)C,E,I. (D)C,F,H.
10.设n(n≥2)个正整数 , ,…, ,任意改变它们的顺序后,记作 , ,…, ,若P=( - )( - )( )…( 一 ),则( )
(A)P一定是奇数. (B)P一定是偶数.
(C)当n是奇数时,P是偶数. (D)当”是偶数时,P是奇数.
二、填空题(每小题4分,共40分.)
11.消防云梯的长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远的地方,则云梯能达到大楼的高度是______米.
15.从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形,若m等于这个凸n边形对角线条数的 ,那么此n边形的内角和为_____.
16.某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样的数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适.(1米=10 纳米)
19.如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P点在BC边上的高AD上,且 ,
BP的延长线交AC于E,若 =10,则 =______, =_______.
20.一个圆周上依次放有1,2,3,…,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______.
三、解答题(本大题共3小题,共40分.) 要求:写出推算过程.
21.(本小题满分10分)
如图3,正方形ABCD的边长为a,点E、F、G、H分别在正方形的四条边上,已知EF‖GH.EF=GH.
(1)若AE=AH= ,求四边形EFGH的周长和面积;
(2)求四边形EFGH的周长的最小值.
22.(本小题满分15分)
已知A港在B港的上游,小船于凌晨3:00从A港出发开往B港,到达后立即返回,来回穿梭于A、B港之间,若小船在静水中的速度为16千米/小时,水流速度为4千米/小时,在当晚23:OO时,有人看见小船在距离A港80千米处行驶.求A、B两个港口之间的距离.
23.(本小题满分15分)
在2,3两个数之间,第一次写上 ,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上 和 ,如下所示:
第k次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 .
(1)请写出第3次操作后所得到的9个数,并求出它们的和;
(2)经过k次操作后所有数的和记为 ,第k+1次操作后所有数的和记为 ,写出 与 之间的关系式;
(3)求 的值.
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一.选择题(每小题4分)
二.填空题(每小题4分)
三、解答题
21.(1)如图1,连结HF.由题知四边形EFGH是平行四
边形,所以
又
所以
所以 (3分)
所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形,故∠EHG= ,四边形EFGH是矩形.
易求得
所以四边形EFGH的周长
为2 ,面积为 .(5分)
(2)如图2,作点H关于AB边的对称点 ,连结 ,交AB于 ,连结
H.显然,点E选在 处时.EH+EF的值最小,最小值等于 .
(7分)
仿(1)可知当AE≠AH时,亦有
(8分)
所以
因此,四边形EFGH周长的最小值为2 .
(10分)
22.设A、B两个港口之间的距离为L,显然
(1分)
(1)若小船在23:00时正顺流而下,则小船由A港到达下游80千米处需用
即19:00时小船在A港,那么在3:00到19:00的时间段内,小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以
解得 t=6 (5分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离是120千米.
(7分)
(2)若小船在23:00时正逆流而上,则小船到达A港需再用
即小船在
内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了 小时,则逆流行驶用了 小时,所以
解得 (12分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米. (14分)
综上所述,A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米. (15分)
23.(1)第3次操作后所得到的9个数为
它们的和为 (4分)
(2)由题设知 =5,则
(10分)
(3)因为
所以
(15分)
分析 用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是,本题转化为:“有2分硬币50个,5分硬币20个,凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种?
解:按5分硬币的个数分21类计数;
假若5分硬币有20个,显然只有一种凑法;
假若5分硬币有19个,则2分硬币的币值不超过100-5×19=5(分),于是2分硬币可取0个、1个、或 2个,即有3种不同的凑法;
假若5分硬币有18个,则2分硬币的币值不超过100-5×18=10(分),于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个,即有6种不同的凑法;
…如此继续下去,可以得到不同的凑法共有:
1+3+6+8+11+13+16+18+21+…+48+51
=5×(1+3+6+8)+4×(10+20+30+40)+51
=90+400+51
=541(种).